对世界的理解增加了

qqgg的东西增加了

1. 为什么物理中量纲不同不能运算，比如，我们不能将面积\((m^2)\)加上一个距离\((m)\)。可是数学中却可以写出不齐次的多项式，比如\(ax^2+bx+c\)，或者\(\sum_{i=0}a_ix^i\)。如果硬是将\(2m^2\)加上\(1m\)，写作\(2m^2+1m\)，确实可以这么写，但是几乎无法找到现实中对应的物理量。即使物理中存在的二次函数，如匀速直线运动中位移随初速度和时间的变化：\(\vec{x}=\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2\)，它的量纲也是正确的，因为\(\vec{x},\vec{v_0},\vec{a}\)的量纲不同，“恰好”互相抵消。可是我们却不能赋予数学中不同次项系数\(a_i\)以不同的量纲……
   不过这或许就是为什么要将角度转化为弧度的一种解释了吧，毕竟弧度没有单位，而数学不需要单位
   

   或许可以写成

   \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m^2 \\ m \end{pmatrix}\)

   甚至可以定义他们的运算

   \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m^2 \\ m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m^2 \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m^2 \\ m \end{pmatrix}\)

2. 植食性昆虫和植物抗虫反应是他们共同进化的结果
   

   如：植物遭到昆虫蚕食后会分泌茉莉酸，启动抗虫反应，分泌杀虫物质，产生吸引昆虫天敌的挥发物；而烟粉虱shī则能合成\(Bt56\)蛋白，随烟粉虱唾液进入植物，抑制茉莉酸启动的抗虫反应

   那么，如果放任地球上的生命如此“共同进化”，会不会导致生物之间耦合过多，愈发臃肿，各个物种之间尔虞我诈，关系层层叠叠，导致地球上的生物作为一个整体，更加不适应宇宙这个大环境？
   就像是神经网络过拟合一样，在训练集上表现很好，但是无法泛化到更加复杂的系统中

3. 积分是对极小值求和 \[ \begin{aligned} \int_{l}^{r}f(x)dx =&\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{r-l}{n}f\left((1-\frac{i}{n})l+\frac{i}{n}r\right)\\ =&\lim_{n \to \infty}\frac{r-l}{n}\sum_{i=1}^{n}f\left((1-\frac{i}{n})l+\frac{i}{n}r\right) \end{aligned} \] 那能不能定义极小值的积？ \[ \begin{aligned} P_{l}^{r}f(x)dx =&\lim_{n \to \infty}\prod_{i=1}^{n}\frac{r-l}{n}f\left((1-\frac{i}{n})l+\frac{i}{n}r\right)\\ =&\lim_{n \to \infty}\left(\frac{r-l}{n} \right)^n\prod_{i=1}^{n}f\left((1-\frac{i}{n})l+\frac{i}{n}r\right) \end{aligned} \] 不过没什么实际意义

4. 随机变换符号的位置是有效的简化手段
   也是构建人脑无法处理的复杂论证过程的简便方式
   ——《微积分的力量》

   生动形象，就像傅里叶变换和小奥解方程一样
   傅里叶变换使我们可以从另一种角度看待和运算函数，同时不丢失函数所携带的信息；
   在我们最初理解“方程”的时候会用“天平”来形容它：两边同时加上相同的量，或将天平两边的量同时翻倍，天平仍然平衡
   他们都通过“简单”的符号变换，在人脑能理解的证明过程抽提出“定理”，以期解决复杂的问题
   解方程时不一定需要思考“两边同时增加或减少\((2x+3)\)，等式仍然成立”，而是将他作为一个烂熟于心的定理来使用，这样才能用人脑仍能理解的方法解决更复杂的问题

IMMC……

超越无穷大！

其中的一些知识点

基数

我们称一个集合所包含的元素数量为这个集合的基数

则集合\(A\)的基数可表示为\(|A|\)

集合\(A\)与\(B\)大小相等的充要条件是\(|A|=|B|\)

自然数集

令\(\mathbb{N}\)表示自然数集，\(\mathbb{N^+}\)表示正整数集（也可以用\(\mathbb{N^*}\)或\(\mathbb{W}\)表示）

则有

\[ 0=\varnothing =\{\}\in \mathbb{N} \]

\[ \forall i\in \mathbb{N},i+1=\{j|j<i, j\in \mathbb{N}\}=\{0, \ldots ,i\}\in \mathbb{N} \]

\[ \mathbb{N^+}=\{i|i\in \mathbb{N}, i\neq 0\} \]

容易得出

\[ \scriptsize \begin{matrix} 0&&&&&&& &=&&&&&&&\varnothing \\ 1& =\{j|j<1, j\in \mathbb{N}\} =\{&0&\}&&&& &=&&&&&&&\{\varnothing\}&& \\ 2& =\{j|j<2, j\in \mathbb{N}\} =\{&0&,&1&\}&& &=&&&&&&\big\{\varnothing,&\{\varnothing\}&\big\}& \\ 3& =\{j|j<3, j\in \mathbb{N}\} =\{&0&,&1&,&2&\} &=&\Big\{&\varnothing&,&\{\varnothing\}&,&\big\{\varnothing,&\{\varnothing\}&\big\}&\Big\} \\ \cdots \end{matrix} \]

\[ \mathbb{N}= \scriptsize \left\{ \begin{matrix} &&&&&&&\varnothing&&&,&\\ & &&&& &&\{\varnothing\}&&&,&\\ & &&&& &\big\{\varnothing,&\{\varnothing\}&\big\}&&,&\\ & \Big\{&\varnothing&,&\{\varnothing\}&,&\big\{\varnothing,&\{\varnothing\}&\big\}&\Big\}&,&\\ &&&&&&&\cdots \end{matrix} \right\} \]

无穷大

在“数值”上，我们认为自然数集\(\mathbb{N}\)的基数\(|\mathbb{N}|=\infty=\aleph_0\)

其中\(\aleph_0\)是最小的无穷大，也就是自然数集\(\mathbb{N}\)的基数\(\infty\)

无穷大可以作为基数，也可以作为序数，但这并不影响上面的定义

作为基数或是序数的区别在于，无穷在参与运算时遵守的运算规则不同

可以把“基数”与“序数”看成是无穷运算的两种规则

更“无穷”的无穷大

\[ \forall i,j\in\mathbb{N}, j\ge 2,\aleph _{i+1}=j^{\mathbb{\aleph _i}} \label{EQA} \]

可以看到，\(\aleph _{i+1}\)的值与\(j\)无关，即

\[ \forall i,a,b\in \mathbb{N},a,b\ge 2,a^{\mathbb{\aleph _i}}=b^{\mathbb{\aleph _i}} \]

那么我们就会得到一个不符合“直觉”的结论：

\[ \infty<2^\infty=10^\infty=10000000^\infty=\cdots \]

很不幸，这是正确的

我们不妨令\(\eqref{EQA}\)式中的\(j=2\)

则有

\[ \newcommand\iddots{\mathinner{ \kern1mu\raise1pt{.} \kern2mu\raise4pt{.} \kern2mu\raise7pt{\Rule{0pt}{7pt}{0pt}.} \kern1mu }} \begin{matrix} \aleph _0&=&|\mathbb{N}|\\ \aleph _1&=&2^{\aleph _0}&=&2^{|\mathbb{N}|}\\ \aleph _2&=&2^{\aleph _1}&=&2^{2^{|\mathbb{N}|}}\\ \aleph _3&=&2^{\aleph _2}&=&2^{2^{2^{|\mathbb{N}|}}}\\\\ &&\dots\\ \aleph _{i+1}&=&2^{\aleph _i}&=&{\underbrace{2^{2^{2^{\iddots^{2^{|\mathbb{N}|}}}}}}_{(i+1)个2}} \end{matrix} \]

由此可以构造出

\[ \forall i,j\in \mathbb{N}, i<j,\aleph _i<\aleph _j \]

小思考

如果构造一棵拥有\(\infty\)层的二叉树

那么他将拥有\(2^{\infty+1}-1=2^\infty\)个节点

使用广度优先搜索对其编号，则我们就构建了一个\(\infty\)到\(2^\infty\)的一一映射

graph TD
    A((1))-->B((2))
    A((1))-->C((3))
    B-->D((4))
    B-->E((5))
    C-->F((6))
    C-->G((7))

和\(\aleph _0<\aleph _1\)相悖

那么问题出在哪了？

安装Matplotlibcpp

VS Code

安装中文插件和C++插件

环境搭建

用到的手册

1. 官网手册
2. MSYS2官网手册
3. MinGW-w64/MSSYS2安装配置

记录了重装电脑需要安装的软件

添加博客访问量

问题

由于我使用了AirCloud作为博客主题

由于不明原因，使用不蒜子时显示为原AirCloud预览博客访问量

Hexo中Markdown的书写规范

使用Markdown编辑器书写完成之后进行的修改

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$$  -> \$\$
\\  -> \\\\
{{  -> { {
}}  -> } }
_{  -> _ {
\{  -> \\{
\}  -> \\}
                \scriptsize
\begin{}        \begin{}
            ->
\end{}          \end{}

序号后若直接接代码块，如：

1
2
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1. 
2. ```
    scripts

3. 1 2 3 4 5 6

   应改为： ```markdown 1. 2.

   scripts

   1

   3.

markdown中自定义做下-右上省略号

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$$
\newcommand\iddots{\mathinner{
    \kern1mu\raise1pt{.}
    \kern2mu\raise4pt{.}
    \kern2mu\raise7pt{\Rule{0pt}{7pt}{0pt}.}
    \kern1mu
}}
$$

物理作业

比较炮弹的实际弹道与理想抛物线的差异

推导

假设质点只受重力、阻力

重力加速度取\(|\vec{g}|=9.8m/{s^2}\) 质点质量为\(m\quad\) 空气阻力\(f\)与速度\(v\)的关系

\[f=\frac{1}{2}C\rho S{ {v}^2}\]

令\(v^2\)的系数\(\frac{1}{2}C\rho S=k\)

有

\[ \vec{G}=m\vec{g} \]

\[ \scriptsize \begin{cases}|\vec{f}|&=&k{v^2}\\\frac{\vec{f} }{|\vec{f}|}&=&-\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\end{cases} \]