对世界的理解增加了

qqgg 的东西增加了

1. 为什么物理中量纲不同不能运算，比如，我们不能将面积 $(m^2)$ 加上一个距离 $(m)$。可是数学中却可以写出不齐次的多项式，比如 $a{x}^2+bx+c$，或者 $\sum _{i=0}{a}_i{x}^i$。如果硬是将 $2m^2$ 加上 $1m$，写作 $2m^2+1m$，确实可以这么写，但是几乎无法找到现实中对应的物理量。即使物理中存在的二次函数，如匀速直线运动中位移随初速度和时间的变化：$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{v_0}t+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}{t}^2$，它的量纲也是正确的，因为 $\overrightarrow{x},\overrightarrow{v_0},\overrightarrow{a}$ 的量纲不同，“恰好” 互相抵消。可是我们却不能赋予数学中不同次项系数 $a_i$ 以不同的量纲……
   不过这或许就是为什么要将角度转化为弧度的一种解释了吧，毕竟弧度没有单位，而数学不需要单位
   

   或许可以写成

   $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{m}^2\\ m\end{array}\right)$

   甚至可以定义他们的运算

   $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{m}^2\\ m\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{m}^2\\ m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{m}^2\\ m\end{array}\right)$

2. 植食性昆虫和植物抗虫反应是他们共同进化的结果
   

   如：植物遭到昆虫蚕食后会分泌茉莉酸，启动抗虫反应，分泌杀虫物质，产生吸引昆虫天敌的挥发物；而烟粉虱 shī则能合成 $Bt56$ 蛋白，随烟粉虱唾液进入植物，抑制茉莉酸启动的抗虫反应

   那么，如果放任地球上的生命如此 “共同进化”，会不会导致生物之间耦合过多，愈发臃肿，各个物种之间尔虞我诈，关系层层叠叠，导致地球上的生物作为一个整体，更加不适应宇宙这个大环境？
   就像是神经网络过拟合一样，在训练集上表现很好，但是无法泛化到更加复杂的系统中

3. 积分是对极小值求和 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{rl}{\int }_l^{r}f(x)dx=& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\frac{r-l}{n}f((1-\frac{i}{n})l+\frac{i}{n}r)\\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{r-l}{n}\sum _{i=1}^{n}f((1-\frac{i}{n})l+\frac{i}{n}r)\end{array}\end{array}$$ 那能不能定义极小值的积？ $$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{rl}{P}_l^{r}f(x)dx=& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\prod _{i=1}^n\frac{r-l}{n}f((1-\frac{i}{n})l+\frac{i}{n}r)\\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{r-l}{n}\right)}^n\prod _{i=1}^{n}f((1-\frac{i}{n})l+\frac{i}{n}r)\end{array}\end{array}$$ 不过没什么实际意义

4. 随机变换符号的位置是有效的简化手段
   也是构建人脑无法处理的复杂论证过程的简便方式
   ——《微积分的力量》

   生动形象，就像傅里叶变换和小奥解方程一样
   傅里叶变换使我们可以从另一种角度看待和运算函数，同时不丢失函数所携带的信息；
   在我们最初理解 “方程” 的时候会用 “天平” 来形容它：两边同时加上相同的量，或将天平两边的量同时翻倍，天平仍然平衡
   他们都通过 “简单” 的符号变换，在人脑能理解的证明过程抽提出 “定理”，以期解决复杂的问题
   解方程时不一定需要思考 “两边同时增加或减少 $(2x+3)$，等式仍然成立”，而是将他作为一个烂熟于心的定理来使用，这样才能用人脑仍能理解的方法解决更复杂的问题

IMMC……

超越无穷大！

其中的一些知识点

基数

我们称一个集合所包含的元素数量为这个集合的基数

则集合 $A$ 的基数可表示为 $|A|$

集合 $A$ 与 $B$ 大小相等的充要条件是 $|A|=|B|$

自然数集

令 $\mathbb{N}$ 表示自然数集，${\mathbb{N}}^{\mathbb{+}}$ 表示正整数集（也可以用 ${\mathbb{N}}^{\mathbb{\ast }}$ 或 $\mathbb{W}$ 表示）

则有

$$\begin{array}{}\text{(3)}& 0=\varnothing =\{\}\in \mathbb{N}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \mathrm{\forall }i\in \mathbb{N},i+1=\{j|j<i,j\in \mathbb{N}\}=\{0,\dots ,i\}\in \mathbb{N}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\mathbb{N}}^{\mathbb{+}}=\{i|i\in \mathbb{N},i\ne 0\}\end{array}$$

容易得出

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{cccccccccccccccc}0& & & & & & & & =& & & & & & & \varnothing \\ 1& =\{j|j<1,j\in \mathbb{N}\}=\{& 0& \}& & & & & =& & & & & & & \{\varnothing \}& & \\ 2& =\{j|j<2,j\in \mathbb{N}\}=\{& 0& ,& 1& \}& & & =& & & & & & \{\varnothing ,& \{\varnothing \}& \}& \\ 3& =\{j|j<3,j\in \mathbb{N}\}=\{& 0& ,& 1& ,& 2& \}& =& \{& \varnothing & ,& \{\varnothing \}& ,& \{\varnothing ,& \{\varnothing \}& \}& \}\\ \cdots \end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \mathbb{N}=\left\{\begin{array}{cccccccccccc}& & & & & & & \varnothing & & & ,& \\ & & & & & & & \{\varnothing \}& & & ,& \\ & & & & & & \{\varnothing ,& \{\varnothing \}& \}& & ,& \\ & \{& \varnothing & ,& \{\varnothing \}& ,& \{\varnothing ,& \{\varnothing \}& \}& \}& ,& \\ & & & & & & & \cdots \end{array}\right\}\end{array}$$

无穷大

在 “数值” 上，我们认为自然数集 $\mathbb{N}$ 的基数 $|\mathbb{N}|=\mathrm{\infty }={\mathrm{\aleph }}_0$

其中 ${\mathrm{\aleph }}_0$ 是最小的无穷大，也就是自然数集 $\mathbb{N}$ 的基数 $\mathrm{\infty }$

无穷大可以作为基数，也可以作为序数，但这并不影响上面的定义

作为基数或是序数的区别在于，无穷在参与运算时遵守的运算规则不同

可以把 “基数” 与 “序数” 看成是无穷运算的两种规则

更 “无穷” 的无穷大

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \mathrm{\forall }i,j\in \mathbb{N},j\ge 2,{\mathrm{\aleph }}_{i+1}=j^{{\mathrm{\aleph }}_{\mathbb{i}}}\end{array}$$

可以看到，${\mathrm{\aleph }}_{i+1}$ 的值与 $j$ 无关，即

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \mathrm{\forall }i,a,b\in \mathbb{N},a,b\ge 2,a^{{\mathrm{\aleph }}_{\mathbb{i}}}=b^{{\mathrm{\aleph }}_{\mathbb{i}}}\end{array}$$

那么我们就会得到一个不符合 “直觉” 的结论：

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \mathrm{\infty }<2^{\mathrm{\infty }}={10}^{\mathrm{\infty }}={10000000}^{\mathrm{\infty }}=\cdots \end{array}$$

很不幸，这是正确的

我们不妨令 $\text{(8)}$ 式中的 $j=2$

则有

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{ccc}{\mathrm{\aleph }}_0& =& |\mathbb{N}|\\ {\mathrm{\aleph }}_1& =& 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}& =& 2^{|\mathbb{N}|}\\ {\mathrm{\aleph }}_2& =& 2^{{\mathrm{\aleph }}_1}& =& 2^{2^{|\mathbb{N}|}}\\ {\mathrm{\aleph }}_3& =& 2^{{\mathrm{\aleph }}_2}& =& 2^{2^{2^{|\mathbb{N}|}}}\\ \\ & & \dots \\ {\mathrm{\aleph }}_{i+1}& =& 2^{{\mathrm{\aleph }}_i}& =& \underset{(i+1)\mathrm{个}2}{\underbrace{2^{2^{2^{{...}^{2^{|\mathbb{N}|}}}}}}}\end{array}\end{array}$$

由此可以构造出

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \mathrm{\forall }i,j\in \mathbb{N},i<j,{\mathrm{\aleph }}_i<{\mathrm{\aleph }}_j\end{array}$$

小思考

如果构造一棵拥有 $\mathrm{\infty }$ 层的二叉树

那么他将拥有 $2^{\mathrm{\infty }+1}-1=2^{\mathrm{\infty }}$ 个节点

使用广度优先搜索对其编号，则我们就构建了一个 $\mathrm{\infty }$ 到 $2^{\mathrm{\infty }}$ 的一一映射

和 ${\mathrm{\aleph }}_0<{\mathrm{\aleph }}_1$ 相悖

那么问题出在哪了？

安装 Matplotlibcpp

VS Code

安装中文插件和 C++ 插件

环境搭建

用到的手册

1. 官网手册
2. MSYS2 官网手册
3. MinGW-w64/MSSYS2 安装配置

记录了重装电脑需要安装的软件

添加博客访问量

问题

由于我使用了 AirCloud 作为博客主题

由于不明原因，使用不蒜子时显示为原 AirCloud 预览博客访问量

Hexo 中 Markdown 的书写规范

使用 Markdown 编辑器书写完成之后进行的修改

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$$  -> \$\$
\\  -> \\\\
{{  -> { {
}}  -> } }
_{  -> _ {
\{  -> \\{
\}  -> \\}
                \scriptsize
\begin{}        \begin{}
            ->
\end{}          \end{}

序号后若直接接代码块，如：

1
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1. 
2. ```
    scripts

3. 1 2 3 4 5 6

   应改为： ```markdown 1. 2.

   scripts

   1

   3.

markdown 中自定义做下 - 右上省略号

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$$
\newcommand\iddots{\mathinner{
    \kern1mu\raise1pt{.}
    \kern2mu\raise4pt{.}
    \kern2mu\raise7pt{\Rule{0pt}{7pt}{0pt}.}
    \kern1mu
}}
$$

物理作业

比较炮弹的实际弹道与理想抛物线的差异

推导

假设质点只受重力、阻力

重力加速度取 $|\overrightarrow{g}|=9.8m/s^2$ 质点质量为 $m$ 空气阻力 $f$ 与速度 $v$ 的关系

$$\begin{array}{}\text{(13)}& f=\frac{1}{2}C\rho S{v}^2\end{array}$$

令 $v^2$ 的系数 $\frac{1}{2}C\rho S=k$

有

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \overrightarrow{G}=m\overrightarrow{g}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \{\begin{array}{lll}|\overrightarrow{f}|& =& k{v}^2\\ \frac{\overrightarrow{f}}{|\overrightarrow{f}|}& =& -\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}\end{array}\end{array}$$