qqgg

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1. 为什么物理中量纲不同不能运算，比如，我们不能将面积\((m^2)\)加上一个距离\((m)\)。可是数学中却可以写出不齐次的多项式，比如\(ax^2+bx+c\)，或者\(\sum_{i=0}a_ix^i\)。如果硬是将\(2m^2\)加上\(1m\)，写作\(2m^2+1m\)，确实可以这么写，但是几乎无法找到现实中对应的物理量。即使物理中存在的二次函数，如匀速直线运动中位移随初速度和时间的变化：\(\vec{x}=\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2\)，它的量纲也是正确的，因为\(\vec{x},\vec{v_0},\vec{a}\)的量纲不同，“恰好”互相抵消。可是我们却不能赋予数学中不同次项系数\(a_i\)以不同的量纲……
   不过这或许就是为什么要将角度转化为弧度的一种解释了吧，毕竟弧度没有单位，而数学不需要单位
   

   或许可以写成

   \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m^2 \\ m \end{pmatrix}\)

   甚至可以定义他们的运算

   \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m^2 \\ m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m^2 \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m^2 \\ m \end{pmatrix}\)

2. 植食性昆虫和植物抗虫反应是他们共同进化的结果
   

   如：植物遭到昆虫蚕食后会分泌茉莉酸，启动抗虫反应，分泌杀虫物质，产生吸引昆虫天敌的挥发物；而烟粉虱shī则能合成\(Bt56\)蛋白，随烟粉虱唾液进入植物，抑制茉莉酸启动的抗虫反应

   那么，如果放任地球上的生命如此“共同进化”，会不会导致生物之间耦合过多，愈发臃肿，各个物种之间尔虞我诈，关系层层叠叠，导致地球上的生物作为一个整体，更加不适应宇宙这个大环境？
   就像是神经网络过拟合一样，在训练集上表现很好，但是无法泛化到更加复杂的系统中

3. 积分是对极小值求和 \[ \begin{aligned} \int_{l}^{r}f(x)dx =&\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{r-l}{n}f\left((1-\frac{i}{n})l+\frac{i}{n}r\right)\\ =&\lim_{n \to \infty}\frac{r-l}{n}\sum_{i=1}^{n}f\left((1-\frac{i}{n})l+\frac{i}{n}r\right) \end{aligned} \] 那能不能定义极小值的积？ \[ \begin{aligned} P_{l}^{r}f(x)dx =&\lim_{n \to \infty}\prod_{i=1}^{n}\frac{r-l}{n}f\left((1-\frac{i}{n})l+\frac{i}{n}r\right)\\ =&\lim_{n \to \infty}\left(\frac{r-l}{n} \right)^n\prod_{i=1}^{n}f\left((1-\frac{i}{n})l+\frac{i}{n}r\right) \end{aligned} \] 不过没什么实际意义

4. 随机变换符号的位置是有效的简化手段
   也是构建人脑无法处理的复杂论证过程的简便方式
   ——《微积分的力量》

   生动形象，就像傅里叶变换和小奥解方程一样
   傅里叶变换使我们可以从另一种角度看待和运算函数，同时不丢失函数所携带的信息；
   在我们最初理解“方程”的时候会用“天平”来形容它：两边同时加上相同的量，或将天平两边的量同时翻倍，天平仍然平衡
   他们都通过“简单”的符号变换，在人脑能理解的证明过程抽提出“定理”，以期解决复杂的问题
   解方程时不一定需要思考“两边同时增加或减少\((2x+3)\)，等式仍然成立”，而是将他作为一个烂熟于心的定理来使用，这样才能用人脑仍能理解的方法解决更复杂的问题