超越无穷大！

其中的一些知识点

基数

我们称一个集合所包含的元素数量为这个集合的基数

则集合\(A\)的基数可表示为\(|A|\)

集合\(A\)与\(B\)大小相等的充要条件是\(|A|=|B|\)

自然数集

令\(\mathbb{N}\)表示自然数集，\(\mathbb{N^+}\)表示正整数集（也可以用\(\mathbb{N^*}\)或\(\mathbb{W}\)表示）

则有

\[ 0=\varnothing =\{\}\in \mathbb{N} \]

\[ \forall i\in \mathbb{N},i+1=\{j|j<i, j\in \mathbb{N}\}=\{0, \ldots ,i\}\in \mathbb{N} \]

\[ \mathbb{N^+}=\{i|i\in \mathbb{N}, i\neq 0\} \]

容易得出

\[ \scriptsize \begin{matrix} 0&&&&&&& &=&&&&&&&\varnothing \\ 1& =\{j|j<1, j\in \mathbb{N}\} =\{&0&\}&&&& &=&&&&&&&\{\varnothing\}&& \\ 2& =\{j|j<2, j\in \mathbb{N}\} =\{&0&,&1&\}&& &=&&&&&&\big\{\varnothing,&\{\varnothing\}&\big\}& \\ 3& =\{j|j<3, j\in \mathbb{N}\} =\{&0&,&1&,&2&\} &=&\Big\{&\varnothing&,&\{\varnothing\}&,&\big\{\varnothing,&\{\varnothing\}&\big\}&\Big\} \\ \cdots \end{matrix} \]

\[ \mathbb{N}= \scriptsize \left\{ \begin{matrix} &&&&&&&\varnothing&&&,&\\ & &&&& &&\{\varnothing\}&&&,&\\ & &&&& &\big\{\varnothing,&\{\varnothing\}&\big\}&&,&\\ & \Big\{&\varnothing&,&\{\varnothing\}&,&\big\{\varnothing,&\{\varnothing\}&\big\}&\Big\}&,&\\ &&&&&&&\cdots \end{matrix} \right\} \]

无穷大

在“数值”上，我们认为自然数集\(\mathbb{N}\)的基数\(|\mathbb{N}|=\infty=\aleph_0\)

其中\(\aleph_0\)是最小的无穷大，也就是自然数集\(\mathbb{N}\)的基数\(\infty\)

无穷大可以作为基数，也可以作为序数，但这并不影响上面的定义

作为基数或是序数的区别在于，无穷在参与运算时遵守的运算规则不同

可以把“基数”与“序数”看成是无穷运算的两种规则

更“无穷”的无穷大

\[ \forall i,j\in\mathbb{N}, j\ge 2,\aleph _{i+1}=j^{\mathbb{\aleph _i}} \label{EQA} \]

可以看到，\(\aleph _{i+1}\)的值与\(j\)无关，即

\[ \forall i,a,b\in \mathbb{N},a,b\ge 2,a^{\mathbb{\aleph _i}}=b^{\mathbb{\aleph _i}} \]

那么我们就会得到一个不符合“直觉”的结论：

\[ \infty<2^\infty=10^\infty=10000000^\infty=\cdots \]

很不幸，这是正确的

我们不妨令\(\eqref{EQA}\)式中的\(j=2\)

则有

\[ \newcommand\iddots{\mathinner{ \kern1mu\raise1pt{.} \kern2mu\raise4pt{.} \kern2mu\raise7pt{\Rule{0pt}{7pt}{0pt}.} \kern1mu }} \begin{matrix} \aleph _0&=&|\mathbb{N}|\\ \aleph _1&=&2^{\aleph _0}&=&2^{|\mathbb{N}|}\\ \aleph _2&=&2^{\aleph _1}&=&2^{2^{|\mathbb{N}|}}\\ \aleph _3&=&2^{\aleph _2}&=&2^{2^{2^{|\mathbb{N}|}}}\\\\ &&\dots\\ \aleph _{i+1}&=&2^{\aleph _i}&=&{\underbrace{2^{2^{2^{\iddots^{2^{|\mathbb{N}|}}}}}}_{(i+1)个2}} \end{matrix} \]

由此可以构造出

\[ \forall i,j\in \mathbb{N}, i<j,\aleph _i<\aleph _j \]

小思考

如果构造一棵拥有\(\infty\)层的二叉树

那么他将拥有\(2^{\infty+1}-1=2^\infty\)个节点

使用广度优先搜索对其编号，则我们就构建了一个\(\infty\)到\(2^\infty\)的一一映射

graph TD
    A((1))-->B((2))
    A((1))-->C((3))
    B-->D((4))
    B-->E((5))
    C-->F((6))
    C-->G((7))

和\(\aleph _0<\aleph _1\)相悖

那么问题出在哪了？