超越无穷大!

超越无穷大!

其中的一些知识点

基数

我们称一个集合所包含的元素数量为这个集合的基数

则集合 A 的基数可表示为 |A|

集合 A B 大小相等充要条件 |A|=|B|

自然数集

N 表示自然数集N+ 表示正整数集(也可以用 N W 表示)

则有

(1)0=={}N

(2)iN,i+1={j|j<i,jN}={0,,i}N

(3)N+={i|iN,i0}

容易得出

(4)0=1={j|j<1,jN}={0}={}2={j|j<2,jN}={0,1}={,{}}3={j|j<3,jN}={0,1,2}={,{},{,{}}}

(5)N={,{},{,{}},{,{},{,{}}},}

无穷大

在 “数值” 上,我们认为自然数集 N基数 |N|==0

其中 0最小的无穷大,也就是自然数集 N 的基数

无穷大可以作为基数,也可以作为序数,但这并不影响上面的定义

作为基数或是序数的区别在于,无穷在参与运算时遵守的运算规则不同

可以把 “基数” 与 “序数” 看成是无穷运算的两种规则

更 “无穷” 的无穷大

(6)i,jN,j2,i+1=ji

可以看到,i+1 的值与 j 无关,即

(7)i,a,bN,a,b2,ai=bi

那么我们就会得到一个不符合 “直觉” 的结论:

(8)<2=10=10000000=

很不幸,这是正确的

我们不妨令 (6) 式中的 j=2

则有

(9)0=|N|1=20=2|N|2=21=22|N|3=22=222|N|i+1=2i=222...2|N|(i+1)2

由此可以构造出

(10)i,jN,i<j,i<j

小思考

如果构造一棵拥有 层的二叉树

那么他将拥有 2+11=2 个节点

使用广度优先搜索对其编号,则我们就构建了一个 2 的一一映射

1
2
3
4
5
6
7

0<1 相悖

那么问题出在哪了?